Análisis 2

Semestre:

6°

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Noviembre de 2013

Elaborado por:

Larissa Sbitneva Viacheslalavovna

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

AN02FP050010

Créditos:

10

Semestre:

6°

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Conceptualiza el límite con énfasis en el carácter deductivo de las matemáticas; deduce las propiedades y técnicas en el ámbito de espacios métricos. Favorece la abstracción, plantea parte de los resultados de convergencia teniendo como espacio ambiente los espacios métricos. Define las sucesiones y series de funciones, con diversos tipos de convergencia.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ninguna

Presentación de la unidad de aprendizaje:

Se exponen y generalizan las ideas que dan rigor a la teoría de integración. En esta UA se introduce el concepto de la medida de Lebesgue y de la integral de Lebesgue. A diferencia de los cursos de teoría de la medida abstracta, aquí se ofrece una introducción al tópico con énfasis a la integración en el espacio euclidiano Rn.

Propósito de la unidad de aprendizaje:

Analizar las generalizaciones y definir constructivamente la medida e integral de Lebesgue. Plantear la generalización de la fórmula de Newton – Leibniz para integrales de Lebesgue. Desarrollar las herramientas fundamentales e importantes de espacios de Hilbert, de Banach y de Lebesgue con sus aplicaciones.

Competencias profesionales:

Comprende problemas y abstrae lo esencial de ellos. Extrae información cualitativa de datos cuantitativos.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

Secuencia temática:

  1. I Medida de Lebesgue en Rn.
    1. Construcción de la medida de Lebesgue: (a) medida de rectángulos, (b) medida de conjuntos abiertos y compactos, (c) medida exterior e interior.
    2. Teorema de Carathéodory.
    3. Definición de conjuntos Lebesgue medibles.
    4. Propiedades básicas de la medida de Lebesgue.
    5. Invariancia de la medida de Lebesgue bajo transformaciones rígidas.
    6. Ejemplo de un conjunto que no es Lebesgue medible.
    7. Función de Lebesgue asociada a un conjunto de Cantor.
  2. II Medidas y funciones medibles.
    1. Sigma-álgebra de conjuntos.
    2. Espacios de medida.
    3. Conjuntos Borel medibles.
    4. Ejemplo de un conjunto Lebesgue medible que no es Borel medible.
    5. Funciones medibles.
    6. Generalización de medidas (en abstracto).
    7. Medida producto.
    8. Convergencia puntual, casi en todas partes y en medida.
  3. III Integral de Lebesgue.
    1. Integral de funciones simples y de funciones no-negativas.
    2. Propiedades básicas.
    3. Integrabilidad de funciones con valores en los reales extendidos.
    4. Teorema de convergencia dominada.
    5. Teorema de convergencia monótona.
    6. Lema de Fatou.
    7. Comparación con la integral de Riemann.
    8. Cambio de variables.
    9. Teorema de Fubini.
  4. IV Integral de Lebesgue indefinida.
    1. Definición de integral de Lebesgue indefinida.
    2. Derivada de integral de Lebesgue indefinida.
    3. Fórmula de Newton – Leibniz para integrales de Lebesgue.
    4. Funciones y medidas absolutamente continuas.
    5. Funciones absolutamente continuas de conjuntos.
    6. Teorema de Radon – Nikodým.
  5. V Espacios de Lebesgue.
    1. Espacios normados y espacios de Banach.
    2. Definición de los espacios de Lebesgue.
    3. Desigualdades de Hölder y de Minkowski.
    4. Completitud de los espacios de funciones continuas en los espacios de Lebesgue.
    5. Convergencia en norma Lp.
    6. Comparación con convergencia puntual, casi en todas partes y en medida.
    7. Espacios de Hilbert.
    8. Producto escalar en el espacio L2.
    9. Elementos ortogonales y ortonormales.
    10. Bases ortonormales en L2.
    11. Teorema de Riesz – Fisher.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 30%
  • Examen final: 40%
  • Participación en clase: 10%
  • Otra (especifique): Tareas: 20%

Bibliografía básica:

  • Bartle R. G. 1995. The Elements of integration and Lebesgue measure. Ed. Wiley Classics Library Edition, Wiley & Sons.
  • Jones, F. 1993. Lebesgue integration on Euclidean space. Ed. Jones & Bartlett Ed.
  • Royden, H. L. 1968. Real analysis. Ed. Collier-MacMillan.

Bibliografía complementaria:

  • Kolmogorov, A. N. y Fomin, S. V. 1975. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional. Ed. MIR.
  • Rudin, W. 1985. Análisis real y complejo. Ed. Alhambra.