Cálculo 3(Opción 2)

Semestre:

3°

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Mayo de 2014

Elaborado por:

Dan Sidney Díaz Guerrero

Ciclo de formación:

Básico

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórico-Práctica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

CA03FB050212

Créditos:

12

Semestre:

3°

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

2

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Desarrolla argumentos demostrativos estableciendo aspectos teóricos del cálculo diferencial e integral, mediante la idea de límites de sucesiones y evalúa series numéricas infinitas y determina su convergencia o divergencia.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Presentación de la unidad de aprendizaje:

Con la finalidad de desarrollar el conocimiento de la teoría en varias variables, en esta UA se presentan y analizan algunos conceptos de la geometría del espacio euclidiano multidimensional, así como las correspondientes nociones de funciones que se utilizarán. A partir de estos conceptos, se explora la teoría que corresponde al cálculo diferencial e integral, ahora en el ámbito multivariable: límites, continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad.

Propósito de la unidad de aprendizaje:

Desarrollar técnicas asociadas a la geometría del espacio euclidiano multidimensional, a través de los ejemplos concretos del plano bidimensional y el espacio tridimensional. Graficar, visualizar y aplicar tales funciones. Desarrollar e identificar como genuinas generalizaciones del caso de una variable los conceptos de límites y derivadas para funciones de varias variables. Distinguir las peculiaridades y obtener las ideas y técnicas propias del caso de varias variables.

Competencias profesionales:

Posee la capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas.Formula problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

Secuencia temática:

  1. I Preliminares de funciones de varias variables.
    1. Espacio vectorial con producto interno: vectores en R^n, operaciones y sus propiedades. Norma de vector y distancia en R^n.
    2. Topologia de R^n: caracterización de conjuntos abiertos, cerrados, compactos, conexos.
    3. Concepto de función de variable vectorial y sus distintas formas de representación geométrica.
    4. Operaciones con funciones de variable vectorial y sus propiedades. Función compuesta.
    5. Interpretaciones geométricas de aplicaciones de R^n en R: casos particulares n = 1, 2, 3 (líneas y superficies de segundo grado).
  2. II Cálculo diferencial en varias variables.
    1. Concepto de límite. Teoremas sobre límites.
    2. Continuidad y propiedades fundamentales de las funciones continuas.
    3. Funciones diferenciables: concepto de diferencial (como la parte pricipal lineal del incremento), propiedades. Derivadas parciales y su interpretación geométrica. Plano tangente.
    4. Condiciones necesarias y suficientes de diferenciabilidad.
    5. Reglas de diferenciación. Regla de cadena.
    6. Derivadas direccionales.
    7. Derivadas parciales de orden superior.
    8. Desarrollo en serie de Taylor. Teoremas fundamentales de las funciones diferenciables
    9. Mínimos y máximos (locales y condicionales). Gradiente.
  3. III Cálculo diferencial vectorial.
    1. Definiciones de las aplicaciones de R^n en R^m: casos particulares. n = 1,2,3, m = 2,3 (curvas paramétricas, superficies paramétricas, cambio de las coordinadas).
    2. Ampliación de los conceptos de límite, continuidad, diferenciabilidad.
    3. Jacobianos de aplicaciones.
    4. Funciones implícitas: definiciones y aplicaciones.
    5. Funciones inversas: definiciones y aplicaciones.
    6. Operadores diferenciales: gradiente, divergencia y rotacional.
  4. IV Cálculo integral en varias variables.
    1. Integral doble: definición y propiedades.
    2. Cálculo de la integral doble: integrales iteradas. Sustitución de variables en una integral doble.
    3. Aplicaciones: cálculo de áreas y volúmenes con ayuda de integrales dobles, cálculo de las áreas de superficies, densidad de distribución de la materia y la integral doble, etc.
    4. Integral triple: definición y propiedades.
    5. Cálculo de la integral triple: integrales iteradas.
  5. V Cálculo integral vectorial.
    1. Integrales de línea: definición y propiedades.
    2. Cálculo de integral de línea.
    3. Independecia de la trayectoria. Campos potenciales.
    4. Superficies parametrizadas. Área.
    5. Integral de superficie: definición y propiedades.
    6. Teorema de Green.
    7. Teorema de la divergercia de Gauss.
    8. Teorema del rotacional de Stokes.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 30%
  • Examen final: 40%
  • Participación en clase: 10%
  • Otra (especifique): Tareas: 20%

Bibliografía básica:

  • Marsden, J. E. y Tromba, A. J. 1991. Cálculo vectorial. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.
  • Courant, R. y John, F. 1990. Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. II. 8a edición. Ed. Limusa. México.

Bibliografía complementaria:

  • Fulks, W. 1970. Cálculo avanzado. Ed. Limusa. México.