Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica
Prerrequisitos:
Muestra destrezas para desarrollar argumentos demostrativos estableciendo aspectos teóricos del Cálculo Diferencial e Integral. Mediante la idea de límites de sucesiones, analiza la noción de límites y posee habilidades propias de la evaluación de series numéricas infinitas, así como la determinación de su convergencia o divergencia.
Antecedentes Recomendadas:
Ninguna
Consecuentes Recomendadas:
Ninguna.
Presentación de la unidad de aprendizaje:
Se trata de una UA cuyos inicios se enfocan en el cálculo diferencial, pero son muy importantes para que el alumno entienda el concepto de optimización. El método de Newton es más importante que el de gradientes conjugados por su relación con el algoritmo de Karmarkar para programación lineal y de puntos interiores en general. La clase de optimización global es importante para hacer énfasis de que en la mayoría de los casos reales se obtendrán óptimos locales.
Propósito de la unidad de aprendizaje:
Aplicar el método de Newton y el de gradientes conjugados por su relación con el algoritmo de Karmarkar para programación lineal y de puntos interiores en general y obtener óptimos locales.
Competencias profesionales:
Posee la capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas.
Formula problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución.
Contribución al perfil de egreso:
La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
Secuencia temática:
I Maximización de funciones de una variable usando la derivada.
1.1 Concepto de mínimos y máximos locales y globales.
1.2 Solución del problema de la cajita derivando y mostrando en la gráfica qué pasa con la derivada.
1.3 Introducir el concepto de función cóncava (convexa). Observar cómo una función puede tener partes convexas y otras cóncavas.
II Maximización de funciones de dos variables derivando.
2.1 Aplicación de un problema concreto para resolverlo y analizarlo.
2.2 Aplicación del problema de ajuste de una recta a un conjunto de puntos usando mínimos cuadrados.
2.3 Introducir el concepto de curvas de nivel y de gradiente y observar qué relación hay entre ellos. Introducir el concepto de conjunto convexo.
III Maximización de funciones de dos variables con restricciones de igualdad usando multiplicadores de Lagrange.
3.1 Problemas de reflexión y refracción de la luz; problemas de maximización de utilidad sujeta a una restricción de presupuesto lineal.
3.2 El problema de eigenvalores de una matriz positiva definida aplicable de esta manera.
IV Maximización de una función de varias variables sin restricciones usando el método del gradiente y el método de Newton.
4.1 Propiedades de robustez y convergencia de los métodos sin demostración.
4.2 El método de gradientes conjugados.
V Programación convexa.
5.1 Minimización de una función convexa sobre un conjunto convexo.
5.2 Condiciones de Kuhn-Tucker.
5.3 El ejemplo de encontrar la distancia de un punto al conjunto de puntos encerrados por una elipse.
5.4 Ilustrar geométricamente con curvas de nivel y con gradientes.
5.5 El método de Newton con barrera.
VI Optimización global.
6.1 Mostrar que si el problema no es convexo es muy difícil encontrar el óptimo global porque no se tiene condiciones de optimalidad.
6.2 Se puede mencionar que los métodos vistos anteriormente son útiles para encontrar óptimos locales
VII El problema de programación lineal como caso especial del problema de programación convexa.
7.1 Problema dual, comparación de las condiciones de optimalidad de programación lineal con las condiciones de Kuhn-Tucker.
7.2 Método simplex.
VIII Otros métodos de programación lineal.
8.1 Idea de los métodos de puntos interiores comparando con el método de Newton con barrera.
Criterios de Evaluación:
Bibliografía básica:
Arizmendi, H., Carrillo, A. y Lara, M. 1987. Cálculo. Primer curso. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.
Bartle, R. G. y Sherbert, D. R. 2000. Introduction to real analysis. 3a edición. Ed. John Wiley & Sons. Estados Unidos.
Spivak, M. 1988. Calculus. 2a edición. Ed. Reverté.
Bibliografía complementaria:
Courant, R. y John, F. 1990. Introducción al cálculo y al análisis matemático, vol. I. 8a edición. Ed. Limusa. México.
Swokowsky, E. W. 1979. Cálculo con geometría analítica. 2a edición. Ed. Prindle-Weber-Smith.