Modelación Matemática


Semestre:

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Noviembre de 2013

Elaborado por:

Larissa Sbitneva Viacheslalavovna

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

MM01FP050010

Créditos:

10

Semestre:

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Posee habilidades para modelar algunos fenómenos de la naturaleza por medio de ecuaciones diferenciales. Muestra pericia en las ideas y técnicas para resolver algunos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ninguna

Presentación de la unidad de aprendizaje:

Las teorías son conjeturas propuestas para explicar fenómenos del mundo real. Como tales, las teorías son aproximaciones o modelos de la realidad. Estos modelos o explicaciones de la realidad se presentan como relaciones matemáticas: una descripción del movimiento de una cuerda en vibración se presenta de un modo matemático preciso en física. Cuando se elige un modelo matemático para un proceso físico, se espera que el modelo refleje fielmente, en términos matemáticos, los atributos del proceso físico. Si es así, el modelo matemático se puede usar para llegar a conclusiones acerca del proceso mismo. El proceso de hallar una buena ecuación no es necesariamente sencillo y por lo general requiere de varias suposiciones de simplificación. El criterio final para decidir si un modelo es “bueno” es si da información buena y útil. La motivación para usar modelos matemáticos radica esencialmente en su utilidad. Es por ello que la unidad de aprendizaje de Modelación Matemática permite que el estudiante asimile correctamente la construcción del modelo matemático y aplique este modelo en la resolución de problemas del mundo real.


Propósito de la unidad de aprendizaje:

Asimilar las etapas en la construcción de los distintos modelos matemáticos y aplicar estos modelos a diferentes problemas de la vida real. Estudiar diversas herramientas de modelado como las ecuaciones en diferencia, proporcionalidad, ajuste del modelo, modelado experimental, simulación, modelos basados en probabilidad, modelos basados en ecuaciones diferenciales, modelos basados en grafos etc.


Competencias profesionales:

Construye y desarrolla argumentaciones lógicas, con una identificación clara de hipótesis y conclusiones.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, el conocimiento sobre el área de estudio y la profesión.


Secuencia temática:

  1. I Introducción.
    1. ¿Qué es un modelo matemático?
    2. Objetivos de modelación.
    3. Modelos formales y reales.
    4. Clasificación de los modelos: modelos estructurales y funcionales; modelos discretos y continuos; modelos lineales y no lineales; modelos deterministas y estocásticos.
    5. Etapas de modelación.
  2. II Modelando la razón de cambio.
    1. Modelando la razón de cambio con ecuaciones en diferencias.
    2. Ejemplos de problemas que se modelan con ecuaciones en diferencias.
    3. Aproximando la solución de problemas basados en la razón de cambio con ecuaciones en diferencia.
    4. Ejemplos de problemas cuya solución se aproxima usando ecuaciones en diferencias.
    5. Solucionando sistemas dinámicos.
    6. Ejemplos de problemas que se modelan con sistemas dinámicos.
    7. Sistemas de ecuaciones en diferencias y ejemplos de problemas que se modelan y aproximan con sistemas de ecuaciones en diferencias.
  3. III Los procesos del modelado, proporcionalidad y similaridad geométrica.
    1. Las distintas etapas del modelado y desarrollo de un ejemplo donde se muestre cada etapa.
    2. Modelado usando proporcionalidad y ejemplos de problemas que se modelan y resuelven usando proporcionalidad.
    3. Modelado usando similaridad geométrica.
    4. 3.4 Problemas que se modelan y resuelven con similaridad geométrica.
    5. 3.5 El problema del rendimiento de gasolina de un autómovil.
    6. 3.6 Un problema de peso y estatura, fuerza y agilidad.
  4. IV Ajuste de modelos.
    1. 4.1 Ajuste de modelos para datos en forma gráfica.
    2. 4.2 Métodos analíticos para el ajuste del modelo.
    3. 4.3 Aplicando el criterio de mínimos cuadrados.
    4. 4.4 Selección de un mejor modelo.
    5. 4.5 Ejemplos de ajuste de modelos.
  5. V Modelo experimental.
    1. 5.1 Modelos experimentales basados en datos.
    2. Ejemplos concretos de modelos basados en datos.
    3. 5.3 Modelos polinomiales de orden superior.
    4. Ejemplos de problemas donde se aplican los modelos polinomiales de orden superior.
    5. 5.5 Suavizado: modelos polinomiales de orden superior y ejemplos del mismo.
    6. 5.6 Modelos de trazadores cúbicos.
    7. 5.7 Ejemplos donde se utilizan modelos de trazadores cúbicos.
  6. VI Modelos y simulación.
    1. 6.1 Simulación del comportamiento determinístico: área bajo la curva.
    2. 6.2 Generación de números aleatorios.
    3. 6.3 Simulación del comportamiento probabilístico.
    4. 6.4 Modelos de inventario.
    5. 6.5 Modelos de línea de espera.
  7. VII Modelos probabilistas.
    1. 7.1 Modelación probabilística con sistemas discretos.
    2. 7.2 Modelando la fiabilidad de un sistema.
    3. 7.3 Regresión lineal y ejemplos donde se aplica.
  8. VIII Modela usando teoría de grafos.
    1. 8.1 Los grafos como modelos.
    2. 8.2 Los siete puentes de Königsberg.
    3. 8.3 Coloreo de grafos.
    4. 8.4 Modelos de grafos.
    5. 8.5 Ejemplos donde se aplican modelos de grafos.
    6. 8.6 La ruta más corta.
    7. 8.7 Flujo máximo en una red.
    8. 8.8 Conexiones de los modelos con grafos con la programación lineal.
  9. IX Modela con ecuaciones diferenciales.
    1. 9.1 Crecimiento de la población.
    2. 9.2 Ejemplos de problemas que se modelan usando ecuaciones diferenciales.
    3. 9.3 Ecuaciones diferenciales lineales y problemas donde se aplican.
    4. 9.4 Un sistema autónomo lineal.
    5. 9.5 Un sistema autónomo no lineal.
    6. 9.6 Modelo del cazador competitivo.
    7. 9.7 Un modelo depredador-presa.
    8. 9.8 Modelos continuos de epidemias.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 30%
  • Examen final: 40%
  • Participación en clase: 10%
  • Otra (especifique): Tareas: 20%


Bibliografía básica:

  • Rutherford, Aris. 2011. Mathematical modelling techniques. Ed. Dover Books.
  • Bender, Edward A. An introduction to mathematical modelling. Ed. Dover Books.
  • Meyer, Walter, J. Concepts of mathematical modelling. Ed. Dover Books.

Bibliografía complementaria:

  • Edwards, Dilwyn y Hamson, Mike. Guide to mathematical modelling.
  • Di Prima, Boyce. Ecuaciones diferenciales y problemas con el valor en la frontera.
  • Giordano, Frank, R.; Fox, William, P. y Horton, Steven, B. A first course in mathematical modeling. 5a edición. Ed. Cengage Learning.