Ecuaciones Diferenciales Parciales

Semestre:

6°

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Noviembre de 2013

Elaborado por:

Jorge Rivera Noriega

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

ED02FP050010

Créditos:

10

Semestre:

6°

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Aplica las técnicas de resolución de algunas ecuaciones diferenciales de diversos órdenes. Modela algunos fenómenos de la naturaleza por medio de ecuaciones diferenciales. Muestra pericia en las ideas y técnicas para resolver algunos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Deduce aspectos cualitativos de soluciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ninguna

Presentación de la unidad de aprendizaje:

En esta UA se consideran ecuaciones diferenciales donde aparecen derivadas parciales y funciones de varias variables. Se presentan las nociones básicas y las técnicas principales para resolver ejemplos fundamentales de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): ecuaciones de primer orden, y los tres tipos básicos de ecuaciones de segundo orden -ecuación de onda, ecuación de calor y ecuación de Laplace-. A través del estudio de algunas técnicas particulares se presentan la variedad de las técnicas, así como las diferencias y peculiaridades de cada tipo. Se enfatiza en la aplicabilidad y técnicas que llevan a soluciones a problemas aplicados. El tema de separación de variables da pie para revisar un ejemplo de aplicación directa de técnicas de ecuaciones diferenciales ordinarias, y revisar uno de los orígenes de las series de Fourier.

Propósito de la unidad de aprendizaje:

Reconocer los tipos principales de Ecuaciones Diferenciales Parciales y el origen físico de estas. Profundizar en las técnicas para resolver EDP, dando, en lo posible, un énfasis en las aplicaciones.

Competencias profesionales:

Trabaja con datos experimentales y contribuye a su análisis. Detecta inconsistencias matemáticas. Formula problemas de optimización, toma decisiones e interpreta las soluciones en los contextos originales de los problemas.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis. Así como la capacidad de aprender y actualizarse permanentemente.

Secuencia temática:

  1. I Introducción.
    1. Definiciones básicas: linealidad, orden de una EDP, soluciones generales y particulares.
    2. Ejemplos de fenómenos modelados por una EDP.
    3. Ecuaciones de primer orden.
    4. Clasificación de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
    5. Problemas de valores iniciales y de la frontera.
    6. Problemas bien planteados y sobredeterminados.
  2. II Ecuación de onda.
    1. Derivación de la ecuación de onda.
    2. Solución general: factorización del operador y líneas características.
    3. Solución al problema de la cuerda infinita con una condición inicial: fórmula de D'Alambert.
    4. Conservación de la energía y principio de causalidad.
    5. Solución al problema de la cuerda finita: condiciones en la frontera y principio de reflexión.
    6. Ecuación no homogénea: solución al problema de la cuerda infinita.
  3. III Ecuación de calor.
    1. Derivación de la ecuación de calor.
    2. Principio del máximo: continuidad respecto a los valores en la frontera.
    3. Propiedades básicas de las soluciones: unicidad, estabilidad, interacción con dilataciones y traslaciones, interacción con convoluciones.
    4. Solución al problema de condiciones iniciales en un intervalo infinito.
    5. Solución fundamental y función Error.
    6. Comparación con la ecuación de onda: velocidad de propagación, comportamiento de singularidades, problemas bien planteados, principio del máximo.
    7. Solución al problema con condiciones en la frontera en la semilínea x>0. Solución al problema no homogéneo en un intervalo finito y en la semilínea x>0.
  4. IV Separación de variables.
    1. Problema de Sturm-Liouville.
    2. Separación de variables para condiciones de Dirichlet y Neumann.
    3. Series de Fourier.
    4. Solución a problemas no homogéneos: método de las funciones propias.
    5. Ortogonalidad y convergencia de series de funciones propias.
  5. V Ecuación de Laplace.
    1. Derivación de la ecuación de Laplace a partir de fenómenos estacionarios (del calor por ejemplo).
    2. Principio del máximo. Separación de variables.
    3. Fórmula de Poisson en el disco unitario de R2.
    4. Propiedad del valor medio.
    5. Identidades de Green y aplicaciones.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 30%
  • Examen final: 40%
  • Participación en clase: 10%
  • Otra (especifique): Tareas: 20%

Bibliografía básica:

  • Courant, R. y Hilbert, D. 1989. Methods of mathematical physics, 2 vols. Ed. John Wiley & Sons.
  • John, F. 1982. Partial differential equations. 4a edición. Ed. Springer-Verlag.

Bibliografía complementaria:

  • Strauss, W. A. 1992. Partial differential equations: an introduction. Ed. John Wiley & Sons.
  • Weinberger, H. F. 1995. A first course in Partial Differential Equations. Ed. Dover.