Métodos Numéricos


Semestre:

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Noviembre de 2013

Elaborado por:

Eugenia Radmila Bulajich, Jorge Rivera Noriega

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

MN01FP050010

Créditos:

10

Semestre:

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Desarrolla argumentos demostrativos estableciendo aspectos teóricos del cálculo diferencial e integral. Muestra habilidades propias de la evaluación de series numéricas infinitas, así como la determinación de su convergencia o divergencia.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ninguna

Presentación de la unidad de aprendizaje:

En la UA se abordan los dos propósitos fundamentales de los métodos numéricos: encontrar soluciones aproximadas aceptables, cuando no se conocen métodos para calcular soluciones exactas, o cuando los métodos que calculan soluciones exactas tardan demasiado tiempo (meses o años) en encontrar dichas soluciones; y diseñar métodos de solución que se adapten mejor a las capacidades y limitaciones de las computadoras.


Propósito de la unidad de aprendizaje:

Analizar y comprender los inevitables errores que acompañan a la computación científica y proporcionar métodos para la detección, predicción y control de ellos. Aplicar los métodos vistos en curso para resolver problemas particulares. Identificar el mejor método para un problema dado. Identificar problemas en los que nunca se obtiene una buena aproximación.


Competencias profesionales:

Utiliza las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas.Utiliza o elabora programas o sistemas de computación para el procesamiento de información, cálculo numérico, simulación de procesos o control de experimentos.Construye modelos computacionales simplificados que describan una situación compleja, identifica sus elementos esenciales y efectúa las aproximaciones necesarias.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, las habilidades en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación.


Secuencia temática:

  1. I Introducción a los problemas numéricos.
    1. Cálculos con computadora: dígitos significativos de precisión, ejemplos prácticos. Errores; absoluto y relativo. Exactitud y precisión. Redondeo y truncamiento.
    2. Repaso de series de Taylor: series de Taylor. Algoritmo completo de Horner. Teorema de Taylor en términos de (x-c). Teorema de Taylor en términos de h. Series alternantes.
    3. Representación de punto flotante y errores: representación de punto flotante normalizada. Representación de punto flotante. Forma de punto flotante de precisión simple. Forma de punto flotante de doble precisión. Errores de cómputo en la representación de números. Notación fl(x) y análisis de error hacia atrás.
    4. Pérdida de significancia: Dígitos significativos. Pérdida de significancia causada por la computación. Teorema de pérdida de precisión. Cómo evitar la pérdida de significancia en la resta.
  2. II Localización de raíces de ecuaciones.
    1. Método de bisección: algoritmo de la bisección. Análisis de convergencia. Método de la falsa posición y modificaciones.
    2. Método de Newton: Interpretaciones del método de Newton. Análisis de convergencia. Sistemas de ecuaciones no lineales. Cuencas de atracción de fractales.
    3. Método de la secante: algoritmo de la secante. Análisis de convergencia. Comparación de métodos. Esquemas híbridos. Iteración de punto fijo.
  3. III Interpolación y diferenciación numérica.
    1. Interpolación polinomial: polinomio de interpolación de Lagrange. Existencia de la interpolación de polinomios. Interpolación polinomial de Newton. Forma anidada de la interpolación polinomial de Newton. Cálculo de los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton usando diferencias divididas. Matriz de Vandermonde. Interpolación inversa. Interpolación polinomial con el algoritmo de Neville. Interpolación de funciones de dos variables.
    2. Errores en la interpolación polinomial: función de Dirichlet. Función de Runge. Tres teoremas de errores de interpolación, lema del límite superior, diferencias divididas y derivadas.
    3. Cálculo de derivadas y extrapolación de Richardson: fórmulas de la primera derivada mediante series de Taylor. Extrapolación de Richardson, teorema de la extrapolación de Richardson. Algoritmo de la extrapolación de Richardson. Fórmulas de la primera derivada mediante interpolación de polinomios. Fórmulas para la segunda derivada mediante series de Taylor. Ruido en los cálculos.
  4. IV Integración numérica.
    1. Suma inferior y suma superior: integrales definidas e indefinidas. Suma inferior y superior. Funciones Riemman integrables.
    2. Regla del trapecio: partición uniforme del intervalo sobre el cual se va a integrar. Análisis del error y ejemplos. Fórmula recursiva del trapecio para particiones uniformes del intervalo. Ejemplo sencillo de Integración multidimensional.
    3. Algoritmo de Romberg: desarrollo del algoritmo de Romberg. Fórmula de Euler-Maclaurin. Extrapolación general.
    4. Regla de Simpson y método adaptativo de Simpson: regla básica de Simpson. Regla compuesta de Simpson. Un esquema adaptativo de Simpson y ejemplos. Regla de Newton-Cotes.
    5. Fórmulas de cuadratura Gaussiana: cuadratura Gaussiana. Cambio de intervalos. Nodos Gaussianos y pesos. Polinomios de Legendre. Ejemplo de integrales con singularidades.
  5. V Sistemas de ecuaciones lineales.
    1. Consideraciones numéricas de la eliminación Gaussiana: vector residual y vector de error. La eliminación gaussiana puede fallar. Pivoteo parcial y pivoteo completo parcial. Eliminación gaussiana con pivoteo escalado parcial. Conteo de operaciones largas. Estabilidad numérica. Escalamiento.
    2. Factorización de matrices: factorización LU. Resolución de sistemas usando factorización LU. Factorización LDLt. Factorización de Cholesky.
    3. Soluciones iterativas de sistemas lineales: norma de un vector y norma de una matriz. Número de condición de una matriz. Matrices mal condicionadas. Método de Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Método de sobrerelajación sucesiva. Teoremas de convergencia. Método del gradiente conjugado.
  6. VI Aproximación por trazadores.
    1. Trazadores de grado uno y dos: trazador de grado uno. Módulo de continuidad. Teorema de exactitud de polinomios de grado uno. Teorema de exactitud del trazador de grado uno. Trazadores de grado dos. Interpolación del trazador cuadrático. Trazador cuadrático de Subbotin.
    2. Trazadores cúbicos naturales: trazador de grado n. Trazador cúbico natural. Representación paramétrica. Propiedades de suavidad.
    3. Interpolación y aproximación usando trazadores B: definición de los trazadores B. Derivadas de los trazadores B. Interpolación y aproximación con trazadores B. Proceso de Schoenberg. Introducción a las curvas de Bézier.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 50%
  • Participación en clase: 20%
  • Otra (especifique): Tareas: 30%


Bibliografía básica:

  • Cheney, W. y Kincaid, D. 2011. Métodos numéricos y computación. 6a edición. Ed. CENGAGE Learning.

Bibliografía complementaria:

  • Burden, R. L. y Douglas Faires, J. 2002. Análisis numérico. 7a edición. Ed. Thomsom Learning.
  • Süli, E. y Mayers, D. 2003. An introduction to numerical analysis. Ed. Cambrige University Press.
  • Hildebrand, F. B. 1987. Introduction to numerical analysis. 2a edición. Ed. Dover.