Geometría Diferencial


Semestre:

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Noviembre de 2013

Elaborado por:

Larissa Sbitneva Viacheslalavovna

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

GD01FP050010

Créditos:

10

Semestre:

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Analiza las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sus principales resultados y problemas que aborda, a través de un estudio metódico de las técnicas de resolución de algunas ecuaciones de diversos órdenes. Modela algunos fenómenos de la naturaleza por medio de ecuaciones diferenciales. Resuelve algunos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por medio de los llamados planos fase, deduce aspectos cualitativos de soluciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ninguna

Presentación de la unidad de aprendizaje:

La geometría diferencial es la rama de las matemáticas que estudia imágenes geométricas, curvas y superficies aplicando métodos del análisis infinitesimal. Con esta UA se introduce la teoría clásica (local) de curvas y superficies en un espacio euclidiano tridimensional, aplicando el desarrollo de las técnicas del cálculo vectorial avanzado junto con los métodos vectoriales de geometría analítica.


Propósito de la unidad de aprendizaje:

Conceptualizar la teoría de curvas y superficies, así como sus invariantes. Adquirir las ideas fundamentales y técnicas computacionales del análisis vectorial, esenciales para demostrar rigurosamente los teoremas fundamentales de geometría diferencial.


Competencias profesionales:

Trabaja con datos experimentales y contribuye a su análisis. Detecta inconsistencias matemáticas. Formula problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.


Secuencia temática:

  1. I Teoría clásica de curvas.
    1. Representación analítica.
    2. Reparametrización.
    3. Vector tangente.
    4. Parametrización natural.
    5. Longitud del arco.
    6. Plano osculador.
    7. Curvatura.
    8. Invariancia del vector normal.
    9. Triedro de Frenet.
    10. Torsión.
    11. Fórmulas de Frenet.
    12. Invariantes euclidianos locales.
    13. Formulas computacionales para curvatura y torsión.
    14. Ecuaciones naturales.
    15. Teorema fundamental.
    16. Aplicaciones de la teoría de las curvas.
  2. II Teoría elemental de superficies.
    1. Representación analítica.
    2. Reparametrización.
    3. Campos vectoriales tangentes y normales.
    4. Plano tangente.
    5. Normal a la superficie.
    6. Orientación.
    7. Longitud de curvas sobre una superficie.
    8. Área.
    9. Primera forma fundamental.
    10. Estructura Riemanniana.
    11. Isometrías.
    12. Geometría intrínseca.
    13. Curvatura normal de una curva sobre una superficie.
    14. Geometría de segunda forma fundamental.
    15. Mapeo esférico (de Gauss).
    16. Operador fundamental (mapeo de Gauss tangente).
    17. Direcciones principales y curvaturas principales.
    18. Curvatura de Gauss.
    19. Clasificación de puntos sobre superficies.
    20. Paraboloide osculador.
    21. Curvatura media.
    22. Superficies minimales.
    23. El teorema de Meusnier.
    24. El teorema de Euler.
    25. Líneas de curvatura.
    26. Curvas asintóticas.
    27. Invariantes de superficies bajo transformaciones rígidas.
    28. Tensores fundamentales.
    29. Clases particulares de superficies.
  3. III Teoremas fundamentales de la teoría de superficies.
    1. Ecuaciones de Gauss.
    2. Símbolos de Christoffel.
    3. Las ecuaciones de Codazzi.
    4. El teorema fundamental de la teoría de las superficies.
    5. Geometría intrínseca de superficies: isometrías.
    6. Teorema de Gauss.
    7. Teorema de Minding.
    8. Curvas sobre superficies.
    9. La curvatura geodésica.
    10. Geodésicas.
    11. Transporte paralelo.
    12. Coordenadas polares geodésicas.
    13. Derivadas y diferenciales covariantes.
    14. Teorema de Gauss-Bonne.
    15. Transformaciones conformes.
  4. IV Introducción a la geometría de las variedades diferenciales.
    1. Las cartas.
    2. El atlas.
    3. Las variedades diferenciales.
    4. Los campos tensoriales.
    5. Conexiones afines.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 50%
  • Participación en clase: 20%
  • Otra (especifique): Tareas: 30%


Bibliografía básica:

  • Vaisman, I. 1984. A first course in differential geometry. Ed. Marcel Dekker.
  • Striuc, D. J. 1961. Geometría diferencial clásica. Ed. Aguílar. España.
  • Cordero, L. A., Fernández, M. y Gray A. 1995. Geometría diferencial de curvas y superficies con mathematica. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.
  • DoCarmo, M. P. Differential geometry of curves and surfaces. Ed. Alianza. España.

Bibliografía complementaria:

  • Lipshutz, M. M. Teoría y problemas de geometría diferencial. Ed. McGraw-Hill.
  • Chern, S. S. Curves and surfaces in euclidean space, studies in global analysis. Ed. MAA.
  • Faber, R. L. Differential geometry and relativity theory. Ed. Publisher Marcel Dekker.