Variable Compleja

Semestre:

5°

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Mayo de 2014

Elaborado por:

Raúl Salgado García

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

VC01FP050010

Créditos:

10

Semestre:

5°

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Aplica las técnicas propias de la integración iterada y evalúa integrales múltiples. Relaciona ideas de la física con ideas matemáticas, e identifica algunas de las situaciones en que las ideas del cálculo expuestas pueden ser aplicadas. Practica técnicas de integración sobre superficies orientables y de los teoremas de Green, Gauss y Stokes.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Ninguna

Presentación de la unidad de aprendizaje:

En la UA se estudian a fondo los números complejos, así como las funciones que tienen como dominio este conjunto. Contribuye a desarrollar hábitos correctos del pensamiento lógico y de formalismo en los estudiantes. Consiste esencialmente en tres partes: la manipulación algebraica de los números complejos, la teoría de diferenciación de funciones definidas en los complejos y la teoría de integración de las mismas funciones.

Propósito de la unidad de aprendizaje:

Comprender y manejar las técnicas del cálculo y el análisis complejo. Conceptualizar la diferenciación e integración y compararlas con los equivalentes en el análisis real. Aplicar la teoría en algunos de los resultados en problemas prácticos.

Competencias profesionales:

Comprende problemas y abstrae lo esencial de ellos. Extrae información cualitativa de datos cuantitativos. Formula problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

Secuencia temática:

  1. I Números complejos.
    1. Campos de los números reales y números complejos.
    2. Geometría analítica del plano complejo.
    3. Álgebra compleja: operaciones aritméticas.
    4. Conjugación. Forma polar y exponencial. Potencias y raíces.
    5. Funciones elementales: exponencial, trigonométricas, logarítmica.
    6. Interpretación geométrica.
    7. El plano y la esfera compleja.
  2. II Funciones complejas.
    1. Funciones de variable compleja.
    2. Límites y continuidad.
    3. Diferenciabilidad.
    4. Funciones analíticas.
    5. Funciones armónicas.
    6. Condiciones de Cauchy-Riemann.
    7. Relación con la ecuación de Laplace.
    8. Funciones racionales.
    9. Función exponencial, trigonométricas, hiperbólicas.
    10. Función logarítmica y sus propiedades.
  3. III Integración.
    1. Integral de línea.
    2. Integrales de funciones elementales.
    3. Integral de contorno.
    4. Deformación de arcos y curvas.
    5. Homotopía.
    6. Teorema de Cauchy-Goursat.
    7. Fórmula integral de Cauchy.
    8. Teorema de Liouville y el teorema fundamental del Álgebra.
    9. Derivadas de funciones analíticas.
    10. Teorema de Morera.
    11. Principio del módulo máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas.
  4. IV Series.
    1. Convergencia de sucesiones y series.
    2. Series de potencias: convergencia absoluta y uniforme.
    3. Integración y diferenciación de series de potencias.
    4. Teorema de Taylor y expansión de funciones analíticas en series de potencias.
    5. Serie de Laurent.
    6. Clasificación de singularidades.
  5. V Residuos y polos.
    1. Cálculo de residuos.
    2. Teorema del residuo.
    3. Evaluación de integrales impropias reales.
    4. Integrales definidas con senos y cosenos.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 50%
  • Participación en clase: 20%
  • Otra (especifique): Tareas: 30%

Bibliografía básica:

  • González, M. O. 1992. Classical complex analysis. Ed. Marcel Dekker, Inc.
  • Churchill, R. V. y Brown, J. W. 1990. Complex variables and applications. 5a edición. Ed. McGraw-Hill.
  • Henrici, P. 1974. Applied and computational complex analysis. Ed. John Wiley and Sons. Estados Unidos.

Bibliografía complementaria:

  • Hinojosa, P. G. G., Tapia, M. y Valdéz, R. 2013. Una introducción a la variable compleja. Ed. Universidad Autónoma del Estado de Morelos. México.
  • Cartan, H. 1995. Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables. Ed. Dover Publications, Inc. Estados Unidos.
  • Ahlfors, L. V. 1966. Complex analysis. Ed. McGraw-Hill.
  • Marsden,J. y Hofman, M. 1999. Basic complex analysis. Ed. W.H. Freeman and Company. Estados Unidos.