Análisis 1

Semestre:

5°

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Mayo de 2014

Elaborado por:

Larissa Sbitneva Viacheslalavovna

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

AN01FP050010

Créditos:

10

Semestre:

5°

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Aplica las técnicas propias de la integración iterada y evalúa integrales múltiples. Relaciona ideas de la física con ideas matemáticas, e identifica algunas de las situaciones en que las ideas del cálculo expuestas pueden ser aplicadas. Practica técnicas de integración sobre superficies orientables y de los teoremas de Green, Gauss y Stokes.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Análisis 2
  • Topología

Presentación de la unidad de aprendizaje:

Es la primer UA en que se exponen y generalizan las ideas que dan rigor a la teoría del cálculo diferencial e integral. Por esta razón el curso se estructura siguiendo las líneas generales de Cálculo 1 y Cálculo 2, con el objeto de revisar esas ideas con una formalidad y extensión mayor. Se presentan algunas ideas básicas de la topología de espacios métricos, esencial en la matemática moderna. También se introduce la convergencia de sucesiones y series de funciones, incluyendo las series trigonométricas.

Propósito de la unidad de aprendizaje:

Fortalecer el carácter axiomático de las matemáticas con la construcción del campo de números reales, y la consecuente deducción de sus propiedades básicas. Conceptualizar el límite con énfasis en el carácter deductivo de las matemáticas; deducir las propiedades y técnicas en el ámbito de espacios métricos. Plantear parte de los resultados de convergencia teniendo como espacio ambiente los espacios métricos. Definir las sucesiones y series de funciones, con diversos tipos de convergencia.

Competencias profesionales:

Comprende problemas y abstrae lo esencial de ellos. Extrae información cualitativa de datos cuantitativos. Formula problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.

Secuencia temática:

  1. I Conceptos básicos del análisis real.
    1. Axiomas de los números reales R: de campo, de orden y del supremo. Relaciones binarias: de equivalencia, de orden parcial. Desigualdades y valores absolutos. Números enteros y principio de inducción. Números racionales e irracionales, y su densidad en R. Representación en decimales. Conjuntos numerables y no numerables. Los números reales extendidos.
  2. II Topología y análisis básico en espacios métricos.
    1. Definición y ejemplos básicos de espacios métricos. Conjuntos abiertos y cerrados. Estructura de conjuntos abiertos de R. Puntos de adherencia y de acumulación. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema de intersección de Cantor. Conjuntos perfectos. Propiedades básicas del conjunto de Cantor. Teorema de cubierta de Lindelöf. Conjuntos compactos. Espacios métricos separables; bases numerables. Teorema de Heine-Borel.
  3. III Límites y continuidad en espacios métricos.
    1. Sucesiones convergentes y de Cauchy en un espacio métrico. Límites superior e inferior de una sucesión. Espacios métricos completos y compleción de espacios métricos. Teorema de Baire. Acotación total. Criterios de compacidad y compacidad relativa en espacios métricos. Límites de funciones entre espacios métricos y propiedades básicas. Continuidad y conjuntos abiertos, cerrados y compactos. Teorema de Bolzano. Teorema del valor intermedio. Continuidad y conjuntos conexos. Continuidad uniforme. Contracciones y puntos fijos. Familias equicontinuas de funciones. Teorema de Arzela-Ascoli. Teorema de Dini. Teorema de Stone-Weierstrass.
  4. IV Series numéricas.
    1. Series convergentes y divergentes. Reglas básicas de series convergentes. Series telescópicas. Criterio de Cauchy. Fórmula de suma por partes. Series alternantes. Series absolutamente convergentes. Criterio de comparación de límite. Criterio de la integral. Criterio de la razón y de la raíz. Criterios de Abel y de Dirichlet.
  5. V Sucesiones y series de funciones.
    1. Convergencia uniforme. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme de series de funciones. Series de Potencias. Radio e intervalo de convergencia. Ejemplo de una curva que llena el espacio. Convergencia uniforme e integración. Convergencia uniforme y diferenciación.
  6. VI Series trigonométricas.
    1. Definición de series trigonométricas. Coeficientes de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Integral de Dirichlet. Principio de localización. Convergencia de series de Fourier en un punto. Núcleo de Fejer. Sumabilidad de Césaro. Aproximación de funciones continuas por polinomios trigonométricos. Carácter de convergencia de las series de Fourier. Derivación e integración de series de Fourier término a término. Series de Fourier para el caso de un intervalo abierto. Notación compleja de las series de Fourier.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 50%
  • Participación en clase: 20%
  • Otra (especifique): Tareas: 30%

Bibliografía básica:

  • Apostol, T. 1974. Mathematical analysis. 2a edición. Ed. Addison-Wesley. Estados Unidos.
  • Bartle, R. G. 1980. Introducción al análisis matemático. Ed. Limusa. México.
  • Haaser, N. B. y Sullivan, J. A. 1978. Análisis real. Ed. Trillas. México.

Bibliografía complementaria:

  • Kolmogorov, A. N. y Fomin, S. V. 1975. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional. Ed. MIR.
  • Rudin, W. 1976. Principles of mathematical analysis. 3a edición. Ed. McGraw-Hill.