Métodos de Física Matemática 3

Semestre:

4°

Fecha de elaboración:

Agosto de 2013

Fecha de revisión:

Septiembre de 2013

Elaborado por:

Miguel Eduardo Mora Ramos

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

MF03FP050010

Créditos:

10

Semestre:

4°

Horas Teoría:

5

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Reconoce y clasifica las ecuaciones diferenciales, despejables y no despejables con respecto a la derivada con énfasis en las ecuaciones lineales y en los sistemas lineales sencillos de mecánica, electricidad y geometría.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Métodos de Física Matemática 4
  • Electrodinámica
  • Óptica Física

Presentación de la unidad de aprendizaje:

Se fomenta en el estudiante el formalismo matemático del análisis de variables complejas, en donde se generaliza al campo complejo, los conceptos y métodos de las funciones de variable real.

Propósito de la unidad de aprendizaje:

Demostrar, deducir y verificar los teoremas de límites de sucesiones y funciones de variable compleja, diferenciabilidad y analiticidad, la integración en el plano complejo, entre otros formalismos matemáticos.

Competencias profesionales:

Verifica y evalúa el ajuste de modelos a la realidad, identificando su dominio de validez. Posee destrezas para razonamientos cuantitativos.

Contribución al perfil de egreso:

Para el cumplimiento del perfil, se desarrolla la habilidad para enlazar conocimientos y técnicas de diferentes áreas de ciencias exactas y naturales; es así que la habilidad para resolver ecuaciones diferenciales permitirá realizar las asociaciones mentales que le permitan la comprensión de los fenómenos naturales.

Secuencia temática:

  1. I Recapitulación de números complejos.
    1. Conceptos básicos.
    2. Representaciones binomial y polar de un número complejo.
    3. Álgebra elemental de números complejos.
    4. Raíces y potenciales de números complejos.
  2. II Funciones de variable compleja.
    1. Definición de función de variable compleja.
    2. Límite y continuidad de una función de variable compleja.
    3. Funciones elementales.
    4. Series complejas.
  3. III Funciones analíticas.
    1. Funciones analíticas.
    2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
    3. Funciones armónicas.
    4. Representaciones conformes.
    5. Transformaciones fraccionales lineales.
    6. Integrales de línea.
    7. La propiedad del valor medio y el principio del máximo.
    8. Integrales de línea complejas.
    9. Teorema fundamental del cálculo para funciones analíticas.
    10. Teorema de Cauchy.
    11. Fórmula integral de Cauchy.
    12. Teorema de Liouville.
    13. Teorema de Morera.
    14. Teorema de Goursat.
    15. Fórmula de Pompeiu.
  4. IV Series de potencias de variable compleja.
    1. Desarrollo en serie de potencias de una función analítica.
    2. Desarrollo en serie en el infinito.
    3. Ceros de una función analítica.
    4. Continuación analítica.
    5. Series de Laurent.
    6. Singularidades aisladas de una función analítica.
    7. Clasificación de las singularidades.
    8. Superficie de Riemann.
    9. Funciones periódicas.
    10. Series de Fourier.
  5. V Teoría de residuos. Aplicaciones.
    1. Teorema de los residuos.
    2. Cálculo de residuos en distintos puntos singulares.
    3. Integrales que involucran funciones racionales.
    4. Integrales de funciones trigonométricas.
    5. Integrados con ramas de puntos singulares.
    6. Valor principal.
    7. Lema de Jordan.
    8. Dominios exteriores.
    9. Evaluación de series infinitas.
  6. VI Transformadas integrales y algunas funciones especiales.
    1. Transformada de Fourier.
    2. Propiedades básicas.
    3. Transformada inversa.
    4. Transformada de Laplace.
    5. Transformada inversa.
    6. Fórmula de Mellin.
    7. Aplicaciones de la transformada de Laplace.
    8. Solución de problemas de valores iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias.
    9. La función Gamma y funciones relacionadas.
    10. La función zeta de Riemann.
    11. Series de Dirichlet.
    12. El teorema de los números primos.

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 40%
  • Examen final: 40%
  • Participación en clase: 10%
  • Otra (especifique): Tareas: 10%

Bibliografía básica:

  • Gamelin, Th. 2001. Complex analysis. Ed. Springer.
  • Bak, J. and Newman, D.H. 2010. Ed. Springer. 3a edition.
  • Fisher, S.D. 1999. Complex variables. Ed. Dover. 2a edition.
  • Zill, D.G. and Shanahan, P.D. 2003. A first course in complex analysis. Ed. Jones and Bartlett.

Bibliografía complementaria:

  • Churchill, R.V. and Brown, J.W. 2008. Complex variables and applications. Ed. McGraw-Hill. 8a edition.
  • González, M.O. and Dekker, Marcel. 1992. Classical complex analysis. Pure and applied mathematics.
  • Gong, Sheng and Gong, Youhong. 2007. Concise complex analysis. Ed. World Scientific.
  • http://mathworl.wolfram.com