Ecuaciones Diferenciales Ordinarias


Semestre:

Fecha de elaboración:

Octubre de 2013

Fecha de revisión:

Noviembre de 2013

Elaborado por:

Rogelio Valdéz Rojas

Ciclo de formación:

Profesional

Área curricular:

Ciencias de la Disciplina

Tipo de unidad:

Teórica

Carácter de unidad:

Obligatoria

Clave:

ED01FP060012

Créditos:

12

Semestre:

Horas Teoría:

6

Horas Práctica:

0

Programas académicos en los que se imparte:

Licenciatura en Ciencias Áreas terminales en Matemáticas, Física, Bioquímica y Biología Molecular, y Ciencias Computacionales y Computación Científica

Prerrequisitos:

Desarrolla argumentos demostrativos estableciendo aspectos teóricos del Cálculo Diferencial e Integral. Muestra habilidades propias de la evaluación de series numéricas infinitas, así como la determinación de su convergencia o divergencia.

Antecedentes Recomendadas:

Ninguna

Consecuentes Recomendadas:

  • Geometría Diferencial
  • Ecuaciones Diferenciales Parciales
  • Modelación Matemática

Presentación de la unidad de aprendizaje:

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los primeros modos robustos y metódicos de modelar fenómenos de la naturaleza. En efecto, muchos de estos fenómenos pueden verse como procesos de aproximación, o como procesos límites similares a los estudiados en el cálculo diferencial e integral, por lo que se plantea el poder analizar el estado en un momento determinado de tales fenómenos a través de la solución de ecuaciones que involucran derivadas o integrales. En esta unidad de aprendizaje se plantean algunos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones que involucran derivadas, y se revisan algunas de las técnicas tradicionales para su resolución. También se estimula la adquisición de intuiciones que lleven al alumno a modelar algunos fenómenos de la naturaleza a través de ecuaciones diferenciales.


Propósito de la unidad de aprendizaje:

Analizar las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sus principales resultados y problemas que aborda, a través de un estudio metódico de las técnicas de resolución de algunas ecuaciones de diversos órdenes. Estimular el desarrollo de habilidades para modelar algunos fenómenos de la naturaleza por medio de ecuaciones diferenciales. Adquirir pericia en las ideas y técnicas para resolver algunos tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por medio de los llamados planos fase, deducir aspectos cualitativos de soluciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.


Competencias profesionales:

Trabaja con datos experimentales y contribuye a su análisis.Detecta inconsistencias matemáticas.

Contribución al perfil de egreso:

La UA aportará al egresado de la Licenciatura en Ciencias, la capacidad de abstracción, análisis y síntesis.


Secuencia temática:

  1. I Introducción.
    1. Qué es una ecuación diferencial y de dónde proviene.
    2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.
    3. Solución de una ecuación diferencial (explícita, implícita, singular).
    4. Problema de valor inicial. Interpretación geométrica.
  2. II Ecuaciones diferenciales de primer orden.
    1. Variables separables.
    2. Ecuaciones homogéneas.
    3. Ecuaciones exactas.
    4. Factor integrante.
    5. Ecuaciones lineales.
    6. Ecuación de Bernoulli.
    7. Aplicaciones.
  3. III Ecuaciones diferenciales de orden superior.
    1. Teoría general: ecuaciones lineales, problema de valor inicial y valores en la frontera; operadores diferenciales lineales; ecuaciones homogéneas; ecuaciones no homogéneas.
    2. Método de reducción de orden.
    3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
    4. Soluciones fundamentales.
    5. Wronskiano.
    6. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes.
    7. Método de coeficientes indeterminados.
    8. Método del operador anulador.
    9. Variación de parámetros.
    10. Ecuación de Cauchy-Euler.
    11. Aplicaciones.
  4. IV Soluciones en series de potencias de ecuaciones lineales.
    1. Repaso de la teoría de series en potencias.
    2. Soluciones alrededor de punto ordinario.
    3. Soluciones alrededor de punto singular.
    4. Método de Frobenius (una breve información).
    5. Método de la serie de Taylor.
  5. V Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
    1. Repaso de la teoría de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales: independencia lineal, eigenvalores, eigenvectores.
    2. Teoría básica de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
    3. Relación con las ecuaciones diferenciales de orden superior.
    4. Método operacional.
    5. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
    6. Eigenvalores reales y distintos.
    7. Eigenvalores repetidas.
    8. Eigenvalores complejos.
    9. Sistemas lineales inhomogéneos.
    10. Método de variación de parámetros.
    11. Aplicaciones.
  6. VI Ecuaciones diferenciales y sistemas no lineales.
    1. Dinámica de la población. Crecimiento logístico.
    2. Sistemas lineales: el plano fase.
    3. Sistemas autónomos y estabilidad.
    4. Sistemas casi lineales.
    5. Aplicaciones (Sistema Lotka-Volterra, especies competidoras, etc.).

Criterios de Evaluación:

  • Exámenes parciales: 50%
  • Participación en clase: 20%
  • Otra (especifique): Tareas: 30%


Bibliografía básica:

  • Boyce, W. E. y Di Prima, R. 1977. Elementary differential equations and boundary value problems. 3a edición. Ed. Wiley.
  • Birkhoff, G. y Rota, G. C. 1989. Ordinary differential equations. 6a edición. Ed. Wiley.
  • Rainville, E. D. 1995. Ecuaciones diferenciales elementales. Ed. Trillas.

Bibliografía complementaria:

  • Lomen, D. y Lovelock, D. 2000. Ecuaciones diferenciales a través de graficas, modelos y datos. Ed. CECSA. México.
  • Borrelli, R. y Coleman, C. S. 2002. Ecuaciones diferenciales, una perspectiva de modelación. Ed. Oxford.